55. Условный экстремум. Необходимое условие существования условного экстремума.
Во многих практических задачах приходится находить экстремум фун-ии нескольких переменых при условии, что переменые связаны некоторыми сотношениями или условиями. Пусть дана функция z=f(x,y) и “х”и “у” связаны условием φ(х,у)=0 эту задачу можно решить след образом из φ(х,у)=0 выразить “у” через “х” у=η(х) и найденный у можно подставить в [...]
53. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие существования.
Пусть дана функция z=f(x,y) которая определена и непрерывна в окресности точки М0(х0,у0) включая саму точку. Точка М0(х0,у0) называется точкой максимума функции z=f(x,y) если существует такая окресность точки М0 что для всех точек М(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x0,y0)>f(x,y) для ∀М(x,y)∈U(M0).
Точка М0(х0,у0) называется точкой минимума функции z=f(x,y) [...]
52. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна вместе со своими частными производными до 3-его порядка включительно в некоторой окресности содержащей точку М(x0,y0,z0) Попытаемся представить эту фун-ию в виде многочлена второй степени по степеням x-x0, y-y0, этот многочлен имеет вид: f(x,y)=A0+B1(x-x0)+C1(y-y0)+(1/2!)( B2(x-x0)2+2C2(x-x0)(y-y0)+Д2(y-y0)2)+R2
Определим коэф А0, B1, C1, B2, C2, D2, коэф будем определять [...]
51. Касательная плоскость и нормаль поверхности.
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат oxyz заданна поверхность z=f(x,y). Возьмем на поверхности точку М и проведем через эту точку всевозможные кривые лежащие на поверхности к каждой из полученных кривых проведем касательные в точке М.
Касательной плоскостью к пов-ти z=f(x,y) в точке М наз плоскость в которой лежат все касательные проведенные [...]
50.Полный дифференциал высших порядков.
Пусть z=f(x,y) тогда полный дифференциал этой фун-ии
dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy
Полным дифференциалом второго порядка наз полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка.
d2z=d(dz)=d((∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy)=((∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy)1xdx+((∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy)1ydy=(∂2z/∂x2)dx2+2(∂2z/∂y∂x)dydx+(∂2z/∂y2)dy2
схематично d2z=((∂/∂x)dx+(∂/∂y)dy)2z
Дифференциал третьего порядка наз дифференциал от дифференциала второго порядка. d3z=((∂/∂x)dx+(∂/∂y)dy)3z.