БНТУ – АТФ сайт студентов АТФ БНТУ

23.Свойства определенного интеграла

Св1:Постоянный множитель можно выносить за знак ОИ  b∫aRf(x)dx= R b∫af(x)dx где R-const   

Док-во: b∫aRf(x)dx= lim(?х→0)nΣi=1 Rf( ξi)?хi ==Rlim(?х→0)nΣi=1f( ξi)?хi =R b∫af(x)dx

Св2:ОИ от алгебраической суммы ф-ии =сумме ОИ-в каждого слагаемого.b∫a(f(x)+g(x))dx=b∫af(x)dx + b∫ag(x)dx 

Док-во:     b∫a(f(x)+g(x))dx=lim(?х→0)nΣi=1[f(ξi)+g(ξi)]?хi==lim(?х→0)nΣi=1f(ξi)?хi+  +lim(?х→0)nΣi=1g(ξi)?хi= b∫af(x)dx + b∫ag(x)dx

Cв3:Если а ОИ нижний предел интегрирования = верхнему, то такой ОИ = 0    а∫af(x)dx=0

Св4:Если в ОИ поменять местами пределы интегрирования, то знак перед ОИ меняется на противоположный а∫сf(x)dx= -с∫af(x)dx

Св5:Если ф-ии у=f(x) и у=g(x) на отрезке [а, в] связоны неравенст- вом f(x)<g(x), то и интегралы b∫af(x)dx < b∫ag(x)dx

Cв6:Если  m,M – наименьшее и наибол-е значения ф-ии на отрезке [а, в], то       m(в-а)< b∫af(x)dx <M(в-а)

Св7:Для любых трёх чисел а, в, с справедливо равенство b∫af(x)dx= = с∫af(x)dx+ b∫сf(x)dx   (если все эти три интеграла существуют) 

Св8:(Т.о среднем)Если ф-ия у=f(х) непрерывна на отрезке [а, в], то на этом отрезке найдется такая точка “с” в кот-рой выполняется равенство b∫af(x)dx=f(с)(в-а)